Correzione compito in classe

classe V, Settembre 2005

Una variabile aleatoria assume valori interi non negativi e p(X=k)=p(1–p)k, essendo p un parametro tra 0 e 1.
  1. Spiegare perché X è effetivamente una variabile aleatoria.
  2. Fornire una descrizione grafica della legge di distribuzione.
  3. Verificare che p(X=k)>pk ha soluzioni in k solo se p<0.5 e che in tal caso si ha soluzione
  4. Verificare che p(X≥k+h | X≥k) = (1–p)h 
  1. X è effetivamente una variabile aleatoria dal momento che
	
	p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) + p(X=3) + ...  = p + p(1–p) + p(1–p)2 + p(1–p)3 + ... =
	= p·(1 + (1–p) + (1–p)2 + (1–p)3 + ...) = 

essendo il secondo fattore la somma di una progressione geometrica
	

 

  2. Una descrizione grafica della legge di distribuzione si ottiene a partire dalla
funzione esponenziale  (1–p)x mediante una contrazione di fattore p
nella direzione y. Ad esempio per p=1/3:

    Ad esempio per p=3/5:

  3. 	p(1–p)k > pk
equivale a
	

	
quindi
	

	
ovvero
	

	
Se log(1-p) > log p , cioè se p<1/2,
	

	
altrimenti
	

	
che è impossibile per k non negativo come nel nostro caso.

  4. 	p(X≥k+h | X≥k)
significa
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione